Themes : MATHEMATIQUES
Algebre
Analyse
Topologie. Mesure. Integration
Reprint : Avril 2003
ISBN : 2-87647-213-9
Format : 17 x 24 cm
Pagination : 396 p.
Faconnage : broche
Serie : Dieudonne - Analyse
SOMMAIRE
XVI -Varietes differentielles.
Cartes, atlas, varietes. - Exemples de varietes
differentielles.
Diffeomorphismes. - Applications differentiables.
- Partitions
differentiables de l'unite. - Espaces tangents;
applications
lineaires tangentes; rang. - Produits de
varietes. - Immersions,
submersions, subimmersions. - Sous-varietes.
- Groupes de Lie. -
Espaces d'orbites; espaces homogenes. - Exemples
: groupes
unitaires, varietes de Stiefel, grassmanniennes,
espaces
projectifs. - Fibrations. - Definition de
fibrations par des
cartes. - Espaces fibres principaux. - Espaces
fibres vectoriels.
- Operations sur les fibres vectoriels. -
Suites exactes, sous-fibres
et fibres quotients. - Morphismes canoniques
de fibres vectoriels.
- Image reciproque d'un espace fibre vectoriel.
- Formes
differentielles. - Varietes orientables et
orientations. -
Changement de variables dans les integrales
multiples et mesures
lebesguiennes. - Le theoreme de Sard. - Integrale
d'une n-forme
differentielle sur une variete pure orientee
de dimension n. -
Theoremes de plongement et d'approximation.
Voisinages tubulaires.
- Homotopies et isotopies differentiables.
- Groupe fondamental
d'une variete connexe. - Revetements et groupe
fondamental. -
Revetement universel d'une variete differentielle.
- Revetements
d'un groupe de Lie.
XVII - Calcul differentiel sur une variete
differentielle.
I. Distributions et operateurs differentiels.
Courants et distributions. - Definition locale
d'un courant.
Support d'un courant. - Courants sur une
variete orientee.
Distributions sur Rn. - Distributions reelles.
Distributions
positives. - Distributions a support compact.
Distributions
ponctuelles. - Topologie faible sur les espaces
de distributions.
- Exemple : parties finies d'integrales divergentes.
- Produit
tensoriel de distributions. - Convolution
des distributions sur
un groupe de Lie. - Regularisation des distributions.
-
Operateurs differentiels et champs de distributions
ponctuelles.
- Champs de vecteurs comme operateurs differentiels.
-
Differentielle exterieure d'une p-forme differentielle.
-
Connexions sur un espace fibre vectoriel.
- Operateurs
differentiels associes a une connexion. -
Connexions sur une
variete differentielle. - Differentielle
exterieure covariante. -
Courbure et torsion d'une connexion.
Annexe -Complements d'algebre (suite).
Modules; modules libres. - Dualite des modules
libres. - Produits
tensoriels de modules libres. - Tenseurs.
- Tenseurs symetriques
et tenseurs antisymetriques. - Algebre exterieure.
- Dualite dans
l'algebre exterieure. - Produits interieurs.
- Formes bilineaires
alternees non degenerees et groupe symplectique.
- Algebre
symetrique. - Derivations et antiderivations
des algebres
graduees. - Algebres de Lie.
BIBLIOGRAPHIE
INDEX
ANALYSE
Quatrieme de couverture
Avec le chapitre XVI commence ce que l'on
s'accorde a considerer
comme le c?ur de l'Analyse moderne, l' "Analyse
sur les
varietes", ou "Analyse globale",
dont l'etude des
aspects les plus accessibles forme l'objet
du reste de ce Traite.
Malheureusement, avant d'aborder les problemes
principaux de
cette branche des mathematiques, il est encore
necessaire de
forger les outils permettant de les attaquer.
Les concepts essentiellement lineaires de
l'Analyse classique
dans les espaces Rn, developpes aux chapitres
VII a X, sont en
effet inadequats pour travailler dans les
varietes
differentielles ; ou plutot, il faut commencer
par les adapter au
fait que l'aspect "lineaire", s'il
demeure fondamental,
est maintenant uniquement local ; il faut
donc se garder de
l'utilisation de "cartes" tant
qu'on ne s'est pas
assure que les notions que l'on etudie sont
intrinseques, c'est a
dire independantes du choix des cartes. Les
chapitres XVI a XVIII
sont donc consacres a rendre "intrinseques"
les
concepts classiques des chapitres VIII a
X ; derivees, derivees
partielles, equations differentielles, etc.
Chemin faisant, on elargira au chapitre XVII
la theorie de
l'integrale : cette derniere ne necessite
a la base qu'une
structure assez pauvre, celle d'espace localement
compact ;
lorsqu'on dispose d'une structure beaucoup
plus riche comme celle
de variete differentielle, on peut developper
une theorie plus
vaste, celle des distributions, qui complete
harmonieusement
l'integration a bien des egards et joue un
role capital dans
l'Analyse contemporaine, comme on pourra
le voir aux chapitres
XXII et XXIII.
Themes : MATHEMATIQUES
Algebre
Analyse
Topologie. Mesure. Integration
Reprint : Avril 2003
ISBN : 2-87647-214-7
Format : 17 x 24 cm
Pagination : 436 p.
Faconnage : broche
Serie : Dieudonne - Analyse
SOMMAIRE
XVIII - Calcul differentiel sur une variete
differentielle.
II.Theorie globale elementaire des equations
differentielles du
premier et du second ordre. Theorie locale
elementaire des
systemes differentiels.
Equations differentielles du premier ordre
sur une variete
differentielle. - Coulee d'un champ de vecteurs.
- Equations
differentielles du second ordre sur une variete.
- Champs
isochrones et equations du second ordre isochrones.
- Proprietes
de convexite des equations differentielles
isochrones. -
Geodesiques d'une connexion. - Familles de
geodesiques a un
parametre et champs de Jacobi. - Champs de
p-directions, systemes
de Pfaff et systemes d'equations aux derivees
partielles. -
Systemes differentiels. - Elements integraux
d'un systeme
differentiel. - Position du probleme d'integration.
- Le theoreme
de Cauchy-Kowalewska. - Le theoreme de Cartan-Kahler.
- Systemes
de Pfaff completement integrables. - Varietes
integrables
singulieres; varietes caracteristiques. -
Caracteristiques de
Cauchy. - Exemples : I. Equations aux derivees
partielles du
premier ordre. - Exemples : II. Equations
aux derivees partielles
du second ordre.
XIX - Groupe de Lie et algebres de Lie.
Operations equivariantes d'un groupe de Lie
sur les espaces
fibres. - Operations d'un groupe de Lie G
sur les fibres de base
G. - Algebre infinitesimale et algebre de
Lie d'un groupe de Lie.
- Exemples. - La formule de Taylor dans un
groupe de Lie. -
Algebre enveloppante de l'algebre de Lie
d'un groupe de Lie. -
Groupes de Lie immerges et sous-algebres
de Lie. - Connexions
invariantes, sous-groupes a un parametre
et application
exponentielle. - Proprietes de l'application
exponentielle. -
Sous-groupes fermes des groupes de Lie. -
Representation adjointe.
Normalisateurs et centralisateurs. - Algebre
de Lie du groupe des
commutateurs. - Groupes d'automorphismes
des groupes de Lie. -
Produits semi-directs de groupes de Lie.
- Differentielle d'une
application dans un groupe de Lie. - Formes
differentielles
invariantes et mesure de Haar sur un groupe
de Lie. - Groupes de
Lie complexes.
XX - Connexions principales et geometrie
riemannienne.
Le fibre des reperes d'un espace fibre vectoriel.
- Connexions
principales sur les fibres principaux. -
Differentiation
exterieure covariante attachee a une connexion
principale et
forme de courbure d'une connexion principale.
- Exemples de
connexions principales. - Connexions lineaires
associees a une
connexion principale. - La methode du repere
mobile. - G-structures.
- Generalites sur les varietes pseudo-riemanniennes.
- La
connexion de Levi-Civita. - Le tenseur de
Riemann-Christoffel. -
Exemples de varietes riemanniennes et pseudo-riemanniennes.
-
Metrique riemannienne induite sur une sous-variete.
- Courbes
dans les varietes riemanniennes. - Hypersurfaces
dans les
varietes riemanniennes. - Le probleme d'immersion.
- La structure
d'espace metrique d'une variete riemannienne.
Etude locale. -
Boules strictement geodesiquement convexes.
- La structure
d'espace metrique d'une variete riemannienne.
Etude globale.
Varietes riemanniennes completes. - Geodesiques
periodiques. -
Premiere et seconde variation de la longueur
d'arc et champs de
Jacobi d'une variete riemannienne. - Courbure
bidimensionnelle. -
Varietes a courbure bidimensionnelle positive
ou a courbure
bidimensionnelle negative. - Varietes riemanniennes
a courbure
constante.
Annexe -Complements d'algebre (suite).
Produits tensoriels d'espaces vectoriels
de dimension infinie. -
Algebres de series formelles.
BIBLIOGRAPHIE
INDEX
ANALYSE
Quatrieme de couverture
Le chapitre XVIII est le dernier des trois
chapitres qui posent
les bases de l'Analyse sur les varietes differentielles,
en
precisant ce qu'il faut entendre dans cette
theorie par equation
differentielle ou aux derivees partielles.
Deja dans les espaces
Rn, il est clair que la notion classique
d'equations aux derivees
partielles est liee au systeme d'axes choisi,
et cela n'a pas
laisse de causer bien des difficultes aux
mathematiciens qui, au
XIXe siecle, ont cherche a classer les equations
aux derivees
partielles suivant leurs proprietes, meme
du point de vue
purement local. Ce n'est qu'en ne perdant
jamais de vue le sens
geometrique d'un systeme differentiel (donnee
d'un "element
tangent" en chaque point) qu'on a pu,
a la suite de Elie
Cartan, parvenir a des conceptions pleinement
satisfaisantes a ce
sujet ; la theorie generale est d'ailleurs
loin d'etre achevee,
et nous n'en donnons que les premiers rudiments.
C'est egalement le point de vue local qui
predomine dans les
chapitres XIX et XX, ou sont exposes les
premiers resultats
d'Analyse "intrinseque". Le chapitre
XIX est
entierement consacre a l'exploitation de
l'idee fondamentale de
Lie, l'existence d'un "dictionnaire"
qui traduit en
termes algebriques les proprietes infinitesimales
d'un groupe de
Lie. La methode suivie differe un peu de
la plupart des exposes,
en prenant d'emblee comme objet algebrique
fondamental l'algebre
de tous les operateurs differentiels invariants
par translation a
gauche, d'ordre quelconque. Cela a l'avantage
de faire
correspondre a une structure associative
une autre qui l'est
egalement ; le fait (special a la caracteristique
0) que la
connaissance des operateurs invariants d'ordre
1 et de leur
structure d'algebre de Lie determine tous
les autres, n'est
presente que posterieurement, fournissant
d'ailleurs aussitot l'
"algebre enveloppante" dont on
donne souvent une
definition abstraite tout a fait inutile.
La plus grande partie du chapitre XX est
elle aussi consacree a
une etude locale, celle des varietes riemanniennes,
envisagee
dans le contexte plus general des "G-structures",
forme
moderne de la methode du "repere mobile"
de Elie
Cartan, qui exploite la richesse de la structure
d'espace fibre
principal, grace a la theorie de Lie.
On a toutefois pu aborder dans les chapitres
XVIII et XX un
aspect de la geometrie differentielle "globale",
l'etude des geodesiques d'une connexion inauguree
par Jacobi, qui
constitue la partie la plus elementaire du
Calcul des variations.
Themes : MECANIQUE
Mecanique celeste. Astronomie
Reprint : Avril 2003
ISBN : 2-87647-209-0
Format : 17 x 24 cm
Pagination : 384 p., 322 p. et 486 p. + 2
planches
Faconnage : broche
Composition : 4 tomes en 3 volumes
SOMMAIRE
Tome I
Theorie generale des perturbations planetaires
Principes de la Dynamique. - Le probleme
des trois corps. - Le
mouvement elliptique. - Principes de la methode
de Lagrange. -
Application de la methode de Lagrange. -
Transformations diverses
des developpements. - Le probleme restreint.
- Theorie
elementaire des perturbations seculaires.
- Theorie complete des
perturbations seculaires. - Cas general du
probleme des trois
corps. - Theoreme de Poisson. - Symetrie
des developpements.
Solutions periodiques. - Principe de la methode
de Delaunay.
Tome II
1 - Developpement de la fonction perturbatrice
Le probleme de la fonction perturbatrice.
- Application des
fonctions de Bessel. - Proprietes generales
de la fonction
perturbatrice. - Les coefficients de Laplace.
- Les polynomes de
Tisserand. - Les operateurs de Newcomb. -
Convergence des series.
- Relations de recurrence et equations differentielles.
- Calcul
numerique des coefficients. - Termes d'ordre
eleve.
2 - Theorie de la Lune
Generalites sur la theorie de la Lune. -
La variation. -
Mouvement du n?ud. - Mouvement du perigee.
- Termes d'ordre
superieur. - Seconde methode. - Action des
planetes. -
Accelerations seculaires.
Tome III
Theorie des marees
Theorie generale des marees. - Methodes pratiques
de prediction
des marees. - Synthese des observations.
- Comparaison avec la
theorie. - Marees fluviales. - Etude de l'influence
des marees
sur les corps celestes.
Themes : PHYSIQUE
Mecanique quantique et ondulatoire
Reprint : Mai 2003
ISBN : 2-87647-229-5
Format : 17 x 24 cm
Pagination : 320 p.
Faconnage : broche
SOMMAIRE
I - Resume de la theorie de Maxwell et de
la theorie des
electrons.
Grandes lignes de la Theorie de Maxwell.
- Theorie
electromagnetique de la Lumiere. - Theorie
des Electrons (H. A.
Lorentz). - Les potentiels electromagnetiques.
Formule des
potentiels retardes. - Calcul du potentiel
cree par une
distribution statique. - Distribution non
statique. Rayonnement.
- Phenomenes de polarisation. Theorie de
la dispersion. - Succes
et echecs de la theorie de Lorentz.
II - Le principe de Relativite.
La transformation de Lorentz. - Signification
physique de la
transformation de Lorentz. - La contraction
de Lorentz. - Le
ralentissement des horloges. - Mesure de
la vitesse de la lumiere
par deux observateurs galileens. - Paradoxe
de la reciprocite. -
Formule de composition des vitesses. - Interpretation
de
l'experience de Fizeau par la cinematique
relativiste.
III - Complements sur la theorie de la Relativite
restreinte.
L'Espace-temps. - Demonstration geometrique
dans l'espace-temps
des relations de Lorentz. - Vecteurs et tenseurs
d'espace-temps.
- La Dynamique relativiste du point materiel.
-
L'Electromagnetisme relativiste. - Dynamique
relativiste du
corpuscule electrise dans un champ electromagnetique.
- Masse
transversale et masse longitudinale. - Verifications
experimentales de la theorie de la Relativite
restreinte.
IV - La Mecanique statistique classique.
But de la Mecanique statistique classique.
- Extension en phase.
Theoreme de Liouville. - Entropie et probabilite.
Relation de
Boltzmann. - La loi de repartition canonique
de Gibbs. -
Application au cas d'un gaz parfait. - Theoreme
de
l'equipartition de l'energie. - Applications.
V - La theorie du Rayonnement noir.
Generalites sur le probleme du Rayonnement
noir. - Loi de Stefan-Boltzmann.
- Loi du deplacement de Wien. - La loi de
distribution spectrale
de Rayleigh-Jeans. - Echec de la loi de Rayleigh.
- La loi de
repartition spectrale de Planck. - La theorie
quantique des
chaleurs specifiques (Einstein, Debye).
VI - La structure corpusculaire de la Lumiere.
Les Photons.
Apercu historique sur les theories de la
Lumiere. - L'effet
photoelectrique. - L'hypothese des photons
et ses succes. -
L'Effet Compton. - Difficultes soulevees
par la theorie des
photons. - Caractere probabiliste de la synthese
onde-corpuscule.
VII - La theorie quantique de l'atome de
Bohr-Sommerfeld.
La formule de Balmer, les termes spectraux
et le principe de
combinaison. - La theorie de l'atome quantifie
de Bohr. - Succes
et insuffisances de la theorie de Bohr. -
La theorie de
Sommerfeld. - Succes et insuffisances de
la theorie de Sommerfeld.
VIII - Le principe de correspondance.
Objet du principe de correspondance. - Les
variables angulaires.
- Exemples de quantification par la methode
des variables
angulaires. - Le principe de correspondance.
- Demonstration des
regles de selection par le principe de correspondance.
IX - Idees de base et equations fondamentales
de la Mecanique
ondulatoire.
Point de depart. - La theorie de Jacobi en
Mecanique analytique.
- Rappel de notions fondamentales de la theorie
des ondes. -
Nouvelle maniere d'acceder a la Mecanique
ondulatoire. -
Remarques importantes et generalisation au
cas des champs non
permanents. - Le theoreme de la vitesse de
groupe.
X - La signification physique de la Mecanique
ondulatoire.
Remarques generales. - Principe de localisation
ou principe des
interferences. - Theoreme d'Ehrenfest. -
Principe de
decomposition spectrale ou principe de Born.
- Les relations
d'incertitude d'Heisenberg. - Le microscope
d'Heisenberg. -
Passage d'un corpuscule a travers une fente
percee dans un ecran.
- Le raccord avec la Mecanique classique.
XI - Applications de la Mecanique ondulatoire
a la quantification.
Premiere interpretation de la quantification
par la Mecanique
ondulatoire. - La theorie de la quantification
en Mecanique
ondulatoire. - Definition generale et proprietes
des valeurs et
fonctions propres. - Le rotateur plan. -
Le rotateur spherique. -
L'oscillateur harmonique. - L'atome d'hydrogene.
- L'Effet Zeeman
en Mecanique ondulatoire. - Les methodes
de perturbation.
XII - Mecanique quantique d'Heisenberg et
principe de
correspondance.
Point de depart de la Mecanique quantique
d'Heisenberg. -
Equations canoniques et relations de commutation.
- Retour sur
certains points de la Mecanique ondulatoire.
- Interpretation des
matrices d'Heisenberg en Mecanique ondulatoire.
- Le principe de
correspondance dans la nouvelle Mecanique.
- Demonstration des
regles de selection. - La formule de Kramers-Heisenberg.
XIII - L'interpretation probabiliste de la
Mecanique ondulatoire.
Idees generales. - Grandeurs et operateurs
en Mecanique
ondulatoire. - Principes generaux de l'interpretation
probabiliste de la Mecanique ondulatoire.
- Application des
principes generaux. - Mesure simultanee de
deux grandeurs. -
Valeur moyenne d'une grandeur en Mecanique
ondulatoire. - Les
integrales premieres en Mecanique ondulatoire.
- La
quantification dans l'espace.
XIV - Le spin de l'electron. La theorie de
Dirac.
Necessite d'introduire un element supplementaire
dans la
definition de l'electron. - L'hypothese d'Uhlenbeck
et Goudsmit (1925).
Le spin de l'electron. - Le spin de l'electron
en Mecanique
ondulatoire. - La theorie de Dirac. - Caracteristiques
diverses
de la theorie de Dirac. - Succes et insuffisances
de la theorie
de Dirac.
XV - Le principe de Pauli et la Mecanique
ondulatoire des
systemes de corpuscules.
La repartition des electrons dans l'atome.
- Le principe
d'exclusion de Pauli. - La Mecanique ondulatoire
des systemes de
corpuscules. - Cas des systemes formes de
corpuscules de meme
nature. - Introduction du spin en Mecanique
ondulatoire des
systemes. Enonce rigoureux du principe de
Pauli. - Theorie du
spectre de l'helium (Heisenberg). - Orthohydrogene
et
parahydrogene. - Applications diverses.
XVI - Les statistiques quantiques.
Les cellules d'extension en phase dans la
theorie des Quanta. -
Nouvelles methodes statistiques. - La statistique
de Bose-Einstein.
- Application de la statistique de Bose-Einstein
au Rayonnement
noir. - La statistique de Fermi-Dirac. -
Le gaz de Fermi dans un
etat fortement degenere. - La theorie electronique
des metaux et
la statistique de Fermi-Dirac.